Guía de Estudio y Hoja de Trabajo

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📘 Guía de Estudio

Aritmética

Temas fundamentales

• Operaciones con fracciones:

  • Suma/resta: $\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd}$.
  • Multiplicación: $\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$.
  • División: $\frac{a/b}{c/d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$.

• Decimales y porcentajes:

  • Convertir porcentaje a decimal: $p\% = \tfrac p{100}$.
  • Calcular porcentaje de un valor: $P = V\cdot\tfrac p{100}$.

• MCD y mcm:

  • Método de Euclides para MCD$(a,b)$.
  • Relación: $a\cdot b = \mathrm{MCD}(a,b)\times \mathrm{mcm}(a,b)$.

• Potencias y raíces:

  • $a^m\cdot a^n = a^{m+n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$.
  • $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
  • $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$.

Ejemplos de práctica

1. Reduce $\displaystyle \frac{3}{4} + \frac{5}{6} = ?$
2. Encuentra el 15 % de 240.
3. Calcula MCD(84, 30) y mcm(84, 30).
4. Simplifica $(2^3)^2 \cdot 2^{-1}$.

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1. Álgebra

Conceptos clave

• Forma general de las ecuaciones de primer grado: $ax + by = c$.
• Despeje de variables.
• Factorización: trinomios, diferencia de cuadrados, por agrupación.
• Funciones: dominio, rango, notación $f(x)$.

Fórmulas esenciales

Tema	Fórmula / Método
Ecuación lineal	$y = mx + b$
Sistema de dos ecuaciones	Métodos: sustitución, igualación, reducción (suma/resta)
Trinomio cuadrado perfecto	$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
Diferencia de cuadrados	$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Ejemplo resuelto
Resolver el sistema:
$$\begin{cases} 2x + y = 5\\ x - 2y = -4 \end{cases}$$

1. De la primera:
   $$y = 5 - 2x$$
2. Sustituir en la segunda:
   $$x - 2(5 - 2x) = -4 \;\Longrightarrow\; x - 10 + 4x = -4 \;\Longrightarrow\; 5x = 6 \;\Longrightarrow\; x = \tfrac{6}{5}$$
3. Entonces
   $$y = 5 - 2\cdot\tfrac{6}{5} = 5 - \tfrac{12}{5} = \tfrac{13}{5}$$

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2. Geometría Analítica

Conceptos clave

• Distancia entre puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$.
• Punto medio.
• Ecuación de la recta: punto-pendiente y forma general.
• Circunferencia: centro $(h,k)$ y radio $r$.

Fórmulas esenciales

Tema	Fórmula
Distancia	$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Punto medio	$\bigl(\tfrac{x_1+x_2}{2},\,\tfrac{y_1+y_2}{2}\bigr)$
Recta (p-pendiente)	$y - y_1 = m\,(x - x_1)$
Ecuación punto pendiente	$y-y_1 = m(x - x_1)$
Ecuación general de la recta	$Ax + By + C = 0$
Circunferencia	$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$
Ecuación general de la circunferencia	$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

Ejemplo resuelto
Ecuación de la recta por $(1,2)$ con pendiente $m=-3$:
$$y - 2 = -3(x - 1) \;\Longrightarrow\; y = -3x + 5$$

Secciones cónicas

• Parábola:
  • Elementos: vértice, foco, directriz, lado recto, eje de simetría.
  • Ecuaciones canónicas y ordinarias (horizontal y vertical).
    • Vertical con vértice en $(h,k)$: $(x−h)^2=4p(y−k)$.
    • Horizontal con vértice en $(h,k)$: $(y−k)^2=4p(x−h)$.
• Elipse:
  • Elementos: centro, focos, vértices, covértices, ejes (mayor y menor), lado recto, excentricidad.
  • Ecuaciones canónicas y ordinarias (horizontal y vertical).
    • Horizontal con centro en $(h,k)$: $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2}=1$
    • Vertical con centro en $(h,k)$: $\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2}=1$
• Hipérbola:
  • Elementos: centro, focos, vértices, asíntotas, ejes (transverso y conjugado), lado recto, excentricidad.
  • Ecuaciones canónicas y ordinarias (horizontal y vertical).
    • Horizontal con centro en $(h,k)$: $\frac{(x-h)^2}{a^2} -\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$
    • Vertical con centro en $(h,k)$: $\frac{(y-k)^2}{a^2} -\frac{(x-h)^2}{b^2}=1$

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3. Probabilidad y Estadística

Conceptos clave

• Población, muestra, variable (cualitativa, cuantitativa discreta, cuantitativa continua).
• Tablas de frecuencias: absoluta, relativa, acumulada.
• Representaciones gráficas: histograma, polígono de frecuencias, gráfica de barras, gráfica circular, ojiva.
• Espacio muestral y eventos.
• Probabilidad clásica:
  $$P(A)=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos totales}}$$
• Medidas de tendencia central: media, mediana, moda.
• Varianza y desviación estándar.
• Representación gráfica: histograma, diagrama de cajas.

Fórmulas esenciales

Tema	Fórmula
Media aritmética	$\bar x = \tfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$
Varianza	$\sigma^2 = \tfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2$
Desviación estándar	$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
Unión de eventos	$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$

Ejemplo resuelto
Datos: 2, 4, 4, 6, 8

• Media:
  $$\bar x = \frac{2+4+4+6+8}{5} = 4.8$$
• Varianza:
  $$\sigma^2 = \frac{(2-4.8)^2 + (4-4.8)^2 + \dots + (8-4.8)^2}{5} = 4.56$$
• Desviación estándar:
  $$\sigma \approx 2.135$$

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Probabilidad

• Conceptos básicos:
  • Conceptos básicos: experimento aleatorio, espacio muestral, evento.
  • Enfoques de la probabilidad: clásico, frecuencial, subjetivo.
  • Técnicas de conteo:
    • Principio fundamental del conteo (multiplicativo y aditivo).
    • Permutaciones (con y sin repetición).
    • Combinaciones.
• Definición axiomática de probabilidad.
• Reglas de probabilidad:
  • Regla de la suma: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$
  • Eventos mutuamente excluyentes $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
  • Probabilidad condicional: $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
  • Regla de la multiplicación: $P(A\cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$ o $P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$.
  • Eventos independientes: $P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B)$

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Regla de Bayes

Fórmula
$$P(B \mid A) \;=\; \frac{P(A \mid B)\,P(B)}{P(A)}\quad\text{donde}\quad P(A)=\sum_i P(A\mid B_i)\,P(B_i).$$

Interpretación

• $P(B)$: probabilidad a priori de $B$.
• $P(A\mid B)$: probabilidad de observar $A$ si $B$ ocurre.
• $P(B\mid A)$: probabilidad a posteriori de $B$ dado que ocurrió $A$.

Ejemplo resuelto
En una prueba de detección:

• $P(\text{enfermo})=0.02$,
• sensibilidad $P(\text{+}\mid\text{enfermo})=0.95$,
• falsos positivos $P(\text{+}\mid\neg\text{enfermo})=0.10$.

¿Cuál es $P(\text{enfermo}\mid\text{+})$?

$$P(\text{enfermo}\mid +) =\frac{0.95\cdot0.02}{0.95\cdot0.02 + 0.10\cdot0.98} =\frac{0.019}{0.019 + 0.098} \approx 0.162.$$

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4. Análisis de Datos

Conceptos clave

• Recolección y organización de datos.
• Tablas de frecuencia.
• Interpretación de gráficas.
• Correlación y regresión lineal simple.

Fórmulas esenciales

Tema	Fórmula
Coeficiente de correlación	$r = \displaystyle\frac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum (x_i-\bar x)^2\;\sum (y_i-\bar y)^2}}$
Recta de regresión	$\hat y = a + b\,x$,

$$b = \frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum(x_i-\bar x)^2}, \quad a = \bar y - b\,\bar x$$

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5. Precálculo

Conceptos clave

• Funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.
• Límites básicos y continuidad.
• Identidades trigonométricas.
• Transformaciones de gráficas.

Fórmulas esenciales

Tema	Fórmula / Identidad
Exponencial y logaritmo	$a^x = e^{x\ln a},\;\log_a x = \tfrac{\ln x}{\ln a}$
Identidades trig.	$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
Límites conocidos	$\lim_{x\to0}\tfrac{\sin x}{x}=1, \;\lim_{x\to\infty}(1+\tfrac{1}{x})^x=e$

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📝 Hoja de Trabajo

Resuelve los siguientes ejercicios de práctica.

Álgebra

1. Factoriza:
   $$x^2 - 5x + 6$$
2. Resuelve:
   $$3(x-2) + 4 = 2x + 1$$
3. Sistema:
   $$\begin{cases} x + 2y = 7\\ 4x - y = 5 \end{cases}$$

Geometría Analítica

4. Calcula la distancia entre $(-1,3)$ y $(4,-2)$.
5. Halla la ecuación de la circunferencia con centro $(2,-1)$ y radio $3$.

Probabilidad y Estadística

6. Se lanza un dado justo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par o un múltiplo de 3?
7. Para los datos 5, 7, 7, 10, 12: calcula media, mediana y moda.

Análisis de Datos

8. Datos de horas de estudio y calificaciones:

   Horas	Calificación
   2	65
   4	78
   6	85
   8	92
   10	96

   a) Calcula el coeficiente de correlación $r$.
   b) Determina la recta de regresión.

Precálculo

9. Simplifica:
   $$\ln\bigl(e^{3x}\bigr)$$
10. Verifica la identidad:
    $$\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta$$

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